Como podría saber el nombre de la animación en curso, de un Animator a través de un Scrip.

Quizas con esto ?:
 
GetCurrentAnimatorClipInfo()
 
y de aca te devuelve un AnimatorClipInfo, https://docs.unity3d.com/ScriptReference/AnimatorClipInfo.html
 
de ahi sacas el Animation clip , https://docs.unity3d.com/ScriptReference/AnimationClip.html
 
y de ahi el name...
 
Tenes tambien GetCurrentAnimatorStateInfo() pero no creo que termines en lo mismo.